Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan teman-teman temui jika sedang mengulas mengenai turunan. Agar teman-teman lebih paham mengenai cara mencari persamaan garis singgung kurva mari kita simak penjelasan berikut ini.

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m1=m2
• jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f’(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  di titik yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ – 20
y’ = 12x³
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17
Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x⁴  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :
y = 12  – x⁴
y’ = – 4x³

Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1=1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m₁.m₂ = -1
(1/32)m2=-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12  – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

Sekian paparan materi persamaan garis singgung, semoga dapat membantu dalam proses belajar temen-temen semua. Jangan lupa baca juga materi sebelumnya mengenaiTransformasi Geometri.

Cara Menghitung Luas Selimut Benda Putar

advertisements

Cara menghitung volume benda putar telah kita bahas pada artikel rumus matematikasebelumnya. Lalu bagaimana dengan luas selimut benda putar? Agar kita dapat lebih memahami mengenai benda putar, maka pada kesempatan kali ini kita akan bahas mengenai rumus dalam menghitung volume benda putar. Sehingga diharapkan dapat membantu dalam memahami materi matematika mengenai benda putar.

Bagaimanakah cara menentukan luas selimut benda putar? pertanyaan tersebut terjawab sesuai dengan gambar diatas, jadi luas selimut benda putar dapat diperoleh dengan cara memutar panjang busur suatu kurva sebanyak satu putaran penuh. Untuk menghitung luas selimut benda putar tersebut, kita dapat gunakan rumus sebagai berikut :

Jika diputar terhadap sumbu x ( jari-jari putarannya=y) :

Jika diputar terhadap sumbu y (jari-jari putarannya=x) :

Jika ds adalah busur yang diputar, maka untuk mencari nilai ds dapat digunakan rumus :

atau

contoh :

1. Tentukanlah luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh  jika diputar terhadap sumbu x!

Penyelesaian :

2. Tentukanlah luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, 0 ≤ y ≤ 1, jika diputar terhadap sumbu y!

Penyelesaian :

Itulah rumus dalam menghitung luas selimut benda putar, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian. Untuk artikel rumus matematika yang lain dapat dilihat diartikel sebelumnya seperti cara menghitung panjang busur.

 

Rumus Pythagoras Serta Penerapannya

Posted On August 22, 2013 | Under Category: Rumus Pythagoras

advertisements

Rumus matematika yang sangat familiar dikalangan pelajar yaitu rumus pythagoras, bagi sobat semua juga pastinya sudah tidak asing lagi. Pengertian dari rumus pythagoras yaitu rumus yang digunakan untuk mencari panjang sisi pada sebuah segitiga siku-siku. Apa itu segitiga siku? yaitu segitiga yang salah satu sudutnya memiliki besar 90°.

Untuk membuktikan rumus pythagoras / teorema pythagoras diatas, sebenarnya terdapat banyak cara. Pada kesempatan kali ini akan kita gunakan cara sederhana untuk membuktikannya. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku, cobalah disusun sehingga membentuk sebuah persegi seperti gambar dibawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi

Luas Persegi Besar = luas persegi putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)² = c² + 1/2ab+1/2 ab+1/2 ab +1/2 ab

                             (a+b)² = 2 ab
         a² + 2ab + b² = c² + 2ab 

          a² +b² = c²

Pembuktian teorema pythagoras yang lain dapat sobat lakukan langsung dirumah, jika rumah sobat menggunakan lantai ubin atau keramik. Cobalah buat segitiga dengan alas 4 keramik dan tinggi 3 keramik, seperti gambar dibawah ini.

Jika sudah, silahkan sobat hitung panjang sisi miring yaitu garis yang diberi tanda warna merah. Jika sobat semua benar dalam menghitungnya akan diperoleh hasil panjang sisi miring yaitu 5 kali panjang ubin/ keramik.

Dalam kehidupan nyata rumus pythagoras banyak pemanfaatannya, salah satu contohnya yaitu pada bidang arsitektur. Seorang arsitek akan menggunakan rumus pythagoras dalam menentukan kemiringan suatu bangunan misalnya saja kemiringan sebuah tanggul agar tanggul tersebut dapat menahan tekanan air. Contoh lainnya yaitu seorang tukang kayu, ketika dia membuat segitiga penguat pilar dia menggunakan rumus pythagoras.

Perhatikan contoh soal dibawah ini :

1.  Jika diketahui BC = 8cm, AC = 6cm. Berapakah panjang sisi AB pada gambar di bawah ini ?

Jawab:

AB² = AC² + BC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100AB
= √100
= 10
Jadi panjang sisi AB adalah 10cm.

2. Berapakah panjang sisi a pada gambar di bawah ini ?

Jawab:
Karena yang ditanyakan adalah panjang sisi a , maka berlaku rumus:
a² = c² – b²
= 17² – 8²
= 289 – 64 = 225
a = √225 = 15 cm

Itulah sedikit informasi tentang rumus pythagoras, semoga dapat bermanfaat bagi sobat semua untuk lebih memahami matematika. Dan baca juga artikel sebelumnya tentang statistika data berkelompok. Selamat belajar.

 

Rumus-Rumus Perhitungan Statistika Data Berkelompok

Posted On August 21, 2013 | Under Category: Statistika

advertisements

Sobat rumus matematika, untuk sobat yang masih duduk di smp atau sma kali ini topik yang akan kita bahas mengenai statistika dasar yang sebelumnya telah diberikan mengenai statistika data tunggal. Kali ini yang akan kita pelajari statistika untuk data berkelompok.

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI DATA BERKELOMPOK

Jika kita mempunyai data hasil penelitian sebagai berikut

24  18  11  10  20  10  18  17  18  15

14  12  10  15  20  11  14  23  18  16

14  16  13  19   21  19  18  17  12  26

20 21  10 14  20 25 15  18  26  12

Untuk dapat menyajikan data tersebut kedalam tabel distribusi frekuensi, hal-hal yang harus dilakukan yaitu menentukan :

 

Sehingga tabel distribusi frekuensinya sebagai berikut

no	data	Frekuensi
1	10 – 12	9
2	13 – 15	8
3	16 – 18	10
4	19 – 21	8
5	22 – 24	2
6	25 – 27	3

 

UKURAN PEMUSATAN DATA BERKELOMPOK

1. Rataan

Dalam menghitung rata-rata data berkelompok kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut :

2. Modus

Untuk menghitung nilai yang paling sering muncul yang biasa dikenal dengan istilah modus kita gunakan rumus sebagai berikut :

3. Median

Median yaitu nilai tengah dari suatu data berkelompok. Untuk menghitungnya gunakan rumus :

 

UKURAN LETAK DATA BERKELOMPOK

1. Kuartil (Q)

Rumus yang biasa digunakan untuk mengitung kuartil data berkelompok yaitu

 

2. Desil

Rumus untuk mencari desil dari suatu data berkelompok yaitu

 

UKURAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK

a. Hamparan

Dalam menghitung hamparan kita gunakan rumus sebagai berikut :

b. Simpangan Kuartil

Rumus untuk menghitung simpangan kuartil biasanya menggunakan rumus sebagai berikut :

c. Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata suatu data berkelompok dihitung menggunakan rumus :

d. Ragam / Variansi

Ragam data berkelompok dihitung dengan rumus :

e. Simpangan Baku

Jika diketahui sekumpulan data kuantitaif yang tidak dikelompokkan yaitu x1, x2, x3, … , xn. Dari data tersebut kita dapat memperoleh nilai simpangan baku menggunakan rumus :

f. Koefisien Keragaman

Rumus dari koefisien keragaman yaitu :

dimana :

S : simpangan baku

x bar : rataan

Semoga informasi statistika data berkelompok ini dapat bermanfaat, dan sobat semua kini dapat dengan mudah mengerjakan soal-soal statistika yang akan ditemui disekolah. Sehingga dalam ujian nanti dapat memperoleh nilai yang maksimal. Baca juga materi barisan dan deret geometri sebagi tambahan referensi, dan agar sobat semua lebih memahami matematika.

 

Bagaimana Menghitung Statistika Dari Data Tunggal ?

Posted On August 21, 2013 | Under Category: Statistika

advertisements

Topik matematika apa yang sobat semua gemari, apakah matematika murni, matematika terapan atau statistika? Apapun bidang yang sobat gemari pasti akan menyenangkan jika kita belajar matematika dengan sungguh-sungguh serta niat yang besar pula. Bagi sobat yang masih duduk di bangku smp atau sma bahkan sd mungkin belum mengerti mengenai kategori bidang dalam matematika tersebut, tetapi jangan khawatir karena nanti akan dikenalkan dibangku kuliah jika sobat mengambil kuliah jurusan matematika.

Statistika adalah ilmu pengetahuan mengenai metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, serta penaarikan kesimpulan dari suatu data penelitian. Data yang kita peroleh dapat disajikan dengan 2 cara yaitu

1. Bentuk diagram yaitu digram batang, diagram garis dan diagram lingkaran.
2. Bentuk tabel.

Apapun bentuk data yang kita sajikan, yang pasti memberikan pengertian yang sama bagi pembacanya.

 

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI DATA TUNGGAL

Berikut ini disajikan hasil nilai ujian matematika dari 40 siswa

7 6 9 6 8 8 9 8 7 8

7 9 6 6 8 9 8 8 8 7

8 7 7 8 6 9 9 8 7 9

8 8 8 7 7 8 8 9 8 8

Jika kita menyajikan nilai ujian matematika tersebut dalam tabel maka hasilnya sebagai berikut

nilai	frekuensi
6	5
7	9
8	18
9	8

 

UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL

1. Mean / rataan

Mean merupakan nilai rata-rata dari keseluruhan data yang dapat dihitung menggunakan rumus

2. Median

Median merupakan nilai tengah dari data-data yang terurut, untuk menghitung median biasanya menggunakan rumus

 

3. Modus

Modus merupakan kumpulan data yang paling sering muncul atau data yang mempunyai nilai frekuensi terbesar. Jika dalam data yang kita peroleh terdapat lebih dari satu data yang memiliki frekuensi besar dan sama-sama paling sering muncul maka dalam kumpulan data tersebut terdapat lebih dari satu modus.

contoh : 2, 3, 3, 5, 6,4,3,8,1 berarti modus untuk kumpulan data tersebut yaitu 3

 

UKURAN LETAK DATA TUNGGAL

a. Kuartil

Apa itu kuartil? kuartil merupakan nilai yang membagi data menjadi 4 bagian yang sama banyak dari data terurut. Sehingga Cara untuk memperoleh kuartil sebagai berikut :

1. Mengurutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar
2. Tentukan median (kuartil tengah / Q_{2 )}
3. Tentukan kuartil bawah / Q₁ (nilai tengah dari data sebelum Q₂ atau 1/4 ukuran data )
4. Tentukan kuartil atas / Q₃ (nilai tengah dari data sesudah Q₂ atau 3/4 ukuran data )

b. Desil

Desil merupakan suatu nilai yang mebagi data menjadi 10 bagian yang sama banyaknya. Serta biasanya dapat dicari menggunakan rumus

 

UKURAN PENYEBARAN DATA TUNGGAL

1. Rentang / Jangkauan

             

2. Jangkauan antar kuartil / Hamparan
   

3. Jangkauan semi antar kuartil / Simpangan kuartil

             

4. Simpangan rata-rata

             

5. Ragam

6. Simpangan Baku

         

Demikian informasi tentang Menghitung Statistika untuk data tunggal, baca juga artikel sebelumnya mengenai Barisan dan Deret Geometri yang telah saya update. Semoga dapat bermanfaat.

advertisements